Алгебраически замкнутые поля

**Алгебраически замкнутое поле** - поле $\mathbb{F}$, в котором всякий многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один корень. В рамках лекций рассматривался лишь 1 пример такого поля - $\mathbb{C}$

Пусть $f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} \in \mathbb{C}[x]$. Тогда $f(x)$ представим как произведение неприводимых линейных множителей.

Пусть $\deg f(x) = n \geq 1$, тогда по теореме Безу и Основной теореме алгебры: $$f(x) = (x - c_{1})q(x) = (x - c_{1})(x - c_{2})q_{2}(x) = \dots = a_n(x - c_{1})(x - c_{2}) \dots (x-c_{n})$$ где $a_{n}$ старший коэффициент $f(x)$, $c_{1}$ - корень $f(x)$, $c_{2}$ - корень $q(x)$ и т.д. $\square$